[Tìm Hiểu] Đạo hàm của hàm số phức – Khái niệm và cách tính

Trong giải tích phức, đạo hàm của hàm số phức là một khái niệm quan trọng, cho phép tính tốc độ biến thiên của hàm số phức. Bài viết này sẽ giới thiệu khái niệm đạo hàm của hàm số phức và cách tính đạo hàm của một số hàm số phức thường gặp.

Định nghĩa đạo hàm của hàm số phức

Cho hàm số phức \(f(z)\) định nghĩa trên tập \(D\subseteq \mathbb{C}\).

Ta định nghĩa đạo hàm của \(f(z)\) tại điểm \(z_0\in D\) như sau:

$$f'(z_0) = \lim_{z\to z_0} \frac{f(z) – f(z_0)}{z – z_0}$$

Nếu giới hạn trên tồn tại, ta nói \(f(z)\) có đạo hàm tại \(z_0\).

Định nghĩa trên tương tự định nghĩa đạo hàm của hàm số thực. Đạo hàm của hàm số phức cũng biểu diễn tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm.

Điều kiện Cauchy-Riemann

Để một hàm số phức \(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\) có đạo hàm tại \(z_0\), cần và đủ là hai hàm \(u(x,y)\) và \(v(x,y)\) thoả mãn hệ phương trình Cauchy-Riemann:

$$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases}$$

Các phương trình Cauchy-Riemann còn hàm ý rằng nếu \(f(z)\) có đạo hàm tại \(z_0\) thì \(f(z)\) liên tục tại \(z_0\).

Ví dụ, hàm \(\ln z = \ln r + i\theta\) với \(z = re^{i\theta}\) thỏa mãn Cauchy-Riemann nên có đạo hàm. Tương tự với các hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm giao hoán,…

Cách tính đạo hàm của một số hàm số phức

Dựa trên định nghĩa và các tính chất của đạo hàm, ta có thể tính đạo hàm của một số hàm số phức cơ bản:

• Đạo hàm của hằng số phức: \(f(z) = c\), với \(c\) là số phức. Khi đó:

$$f'(z) = 0$$

• Đạo hàm của z:

$$(\text{z})’ = 1$$

• Đạo hàm của \(\frac{d}{dz}(z^n) = n z^{(n-1)}\):

$$(z^n)’ = nz^{n-1}, \text{ với } n\in\mathbb{N}$$

• Đạo hàm của hàm mũ:

$$(e^z)’ = e^z$$

• Đạo hàm của sin z và cos z:

$$(\sin z)’ = \cos z, (\cos z)’ = -\sin z$$

• Đạo hàm của logarit tự nhiên:

$$(\ln z)’ = \frac{1}{z}$$

• Đạo hàm của hàm thuần ảo: Nếu \(f(z) = u(x, y) + iv(x,y)\) chỉ chứa phần ảo thuần túy thì \(f'(z) = 0\)

Công thức đạo hàm các hàm phức cơ bản trên rất hữu ích trong tính toán. Chúng ta cũng có thể dựa vào các quy tắc tính đạo hàm của hàm số thực (như quy tắc dây xích, đạo hàm hàm hợp) để tính đạo hàm của các hàm phức phức tạp hơn.

Đạo hàm cấp cao của hàm số phức

Ngoài đạo hàm cấp một, ta còn có thể định nghĩa đạo hàm cấp cao của hàm số phức. Cụ thể:

• Đạo hàm cấp hai của \(f(z)\):

$$f”(z_0) = \lim_{z\to z_0}\frac{f'(z) – f'(z_0)}{z – z_0}$$

• Đạo hàm cấp \(k\) của \(f(z)\):

$$f^{(k)}(z) = \frac{d^k f(z)}{dz^k}$$

Một số tính chất của đạo hàm cấp cao:

• \((cf(z))^{(k)} = c.f^{(k)}(z)\) với \(c\) là hằng số.
• \((f(z) \pm g(z))^{(k)} = f^{(k)}(z) \pm g^{(k)}(z)\)
• \((f(z).g(z))^{(k)} = \sum_{j=0}^{k}\dbinom{k}{j}f^{(j)}(z)g^{(k-j)}(z)\)

Đạo hàm cấp cao của hàm số phức cũng có ứng dụng trong việc tiếp tuyến, xấp xỉ hàm số và một số lĩnh vực khác của toán học.

Đạo hàm riêng của hàm số phức nhiều biến

Với hàm số phức \(f(z_1, z_2, …, z_n)\) của nhiều biến phức \(z_1, z_2, …, z_n\), ta định nghĩa đạo hàm riêng theo các biến như sau:

• Đạo hàm riêng theo biến \(z_k\):

$$\frac{\partial f}{\partial z_k} = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_1, …, z_k + h, …, z_n) – f(z_1, …, z_k, …, z_n)}{h}$$

• Đạo hàm riêng cấp hai theo các biến \(z_i, z_j\):

$$\frac{\partial^2 f}{\partial z_i \partial z_j}$$

Đạo hàm riêng của hàm số phức nhiều biến cũng thoả mãn các tính chất tương tự như đạo hàm riêng của hàm số thực nhiều biến.

Ứng dụng của đạo hàm hàm số phức

Đạo hàm của hàm số phức có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và vật lý:

• Xác định cực trị, điểm yên của hàm số phức
• Tính vi phân và tích phân của hàm số phức
• Khảo sát sự liên tục, khả vi của hàm số
• Tìm thặng dư của hàm số phức dựa trên công thức tích phân Cauchy
• Giải phương trình vi phân với ứng dụng trong vật lý, điện tử
• Xây dựng các hàm biến đổi phức (conformal mapping)
• Nghiên cứu các bài toán về đối ngẫu, tương đương liên hệ…

Như vậy, đạo hàm của hàm số phức là công cụ hữu hiệu để khảo sát các hàm phức, giải quyết các bài toán trong giải tích phức cũng như các ứng dụng.

Một số lưu ý khi tính đạo hàm hàm phức

Để tránh nhầm lẫn, cần lưu ý một số điểm sau khi tính đạo hàm của hàm số phức:

• Kiểm tra tính liên tục, tính khả vi của hàm số tại điểm cần tính đạo hàm
• Phân biệt rõ đạo hàm và vi phân: đạo hàm là tốc độ thay đổi, vi phân là sự thay đổi vô cùng nhỏ.
• Tuân thủ thứ tự tính toán đúng khi áp dụng các công thức đạo hàm.
• Phân biệt rõ đạo hàm riêng và đạo hàm toàn phần của hàm nhiều biến.
• Sử dụng ký hiệu đúng cho đạo hàm các cấp, tránh viết nhầm đạo hàm cấp cao.

Hiểu rõ các lưu ý trên sẽ giúp tránh sai sót trong việc tính toán đạo hàm hàm số phức. Từ đó vận dụng được chúng một cách chính xác và hiệu quả.

Tóm tắt

• Đạo hàm của hàm số phức được định nghĩa tương tự như đạo hàm của hàm số thực, thể hiện tốc độ thay đổi.
• Điều kiện Cauchy-Riemann cần và đủ để một hàm phức có đạo hàm.
• Có thể tính đạo hàm hàm phức dựa trên định nghĩa hoặc các công thức đạo hàm.
• Đạo hàm hàm phức có nhiều ứng dụng trong giải tích phức và các ngành khoa học, kỹ thuật.
• Cần lưu ý một số điểm khi tính toán để tránh nhầm lẫn về các khái niệm.

Như vậy, đạo hàm của hàm số phức là một công cụ quan trọng để phân tích các hàm phức. Hy vọng bài viết đã cung cấp những thông tin cơ bản để đọc giả hiểu rõ hơn về chủ đề này.